مقدمۀ مؤلف
کتاب حاضر جهت استفاده دانشجویان رشته‌های مهندسی در کلیه مقاطع تحصیلی تألیف شده است. این کتاب شامل دوازده فصل است. در فصل اول، معادلات دیفرانسیل مرتبۀ اول تشریح شده است. در فصل دوم، معادلات دیفرانسیل مرتبۀ دوم و بالاتر بیان گردیده است. فصل سوم شامل تبدیل لاپلاس است. در فصل چهارم، فضاهای برداری تشریح شده است. در فصل پنجم، ماتریس ها بیان شده است. فصل ششم شامل مبحث توابع مختلط است. در فصل هفتم، نگاشت ها مطرح شده است. در فصل هشتم به تشریح توابع چند متغیره پرداخته شده است. در فصل نهم، سری و انتگرال فوریه بیان شده است. فصل دهم شامل مسائل مقادیر مرزی است. در فصل یازدهم، معادلات دیفرانسیل جزئی تشریح شده است و در فصل دوازدهم، چند جمله ای های لژاندر و توابع بسل بیان گردیده است.
پُر واضح است با وجود دقت های اعمال شده، این کتاب عاری از عیب و نقص و بعضاً اشتباه نیست. لذا، از اساتید گرانقدر و دانشجویان فهیم استدعا دارم تا با ارائه پیشنهادها و رهنمودهای ارزندۀ خود، اینجانب را در رفع کاستی‌های این کتاب یاری نمایند.
در خاتمه لازم می‌دانم از الطاف جناب آقای دکتر مهیار عربانی (استاد تمام و عضو هیأت علمی دانشکده فنی دانشگاه گیلان) که همواره مشوق اینجانب بوده‌اند، مراتب امتنان خود را اعلام دارم و همچنین از زحمات سرکار خانم فاطمه ترابی که در تایپ مطالب کتاب مرا یاری نموده‌اند، تشکر خود را اعلام نمایم.
سید مهدی رادقی مهرجو
مدرس مرکز تحقیقات راه، مسکن و شهرسازی
(آموزشکده فنی لوشان)
m.radeghi@tvu.ac.ir
فهرست مطالب
فصل 1 معادلات ديفرانسيل مرتبة اول 1
1.1 معادلات جداشونده 2
2.1 معادلات قابل تبدیل به جداشونده 2
3.1 معادلات همگن 2
4.1 معادلات به فرم 2
1.5 معادلات خطی مرتبه اول 3
1.6 معادلات قابل تبدیل به خطی مرتبۀ اول 3
1.7 معادلات کامل 4
1.8 معادلات کلرو 5
فصل 2 معادلات ديفرانسيل مرتبة دوم و بالاتر 7
1.2 مباحث کلی در مورد معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه n ام 8
2.2 حل معادلات خطی با ضرایب ثابت 9
3.2 حل معادلات خطی با ضرایب متغیر 11
4.2 حل معادلات غیرخطی 14
فصل 3 تبديل لاپلاس 17
1.3 تبدیل لاپلاس توابع 18
2.3 لاپلاس مشتقات توابع 22
3.3 لاپلاس پیچش دو تابع 23
4.3 لاپلاس معکوس توابع 23
فصل 4 فضاهاي برداري 25
1.4 فضاهای برداری 26
2.4 زیر فضاها 26
4.3 مستقل خطی و وابستۀ خطی 27
4.4 تشخیص مستقل خطی و وابستۀ خطی 27
4.5 پایه و بعد 27
4.6 فرایند متعامد سازی گرام- اشمیت 27
فصل 5 ماتريس‌ها 29
1.5 ماتریس‌های خاص 30
2.5 جمع ماتریس‌ها 30
3.5 ضرب عدد در ماتریس 30
4.5 ترانهاده یک ماتریس 31
5.5 دترمینان یک ماتریس 32
6.5 معکوس یک ماتریس 33
7.5 مقادیر ویژه و بردارهای ویژه یک ماتریس 33
8.5 ماتریس معین مثبت، معین منفی، نیمه معین مثبت، نیمه معین منفی و نامعین 34
9.5 ماتریس نمایی 34
10.5 ماتریس متعامد 35
11.5 قضیۀ کیلی- هامیلتون 35
فصل 6 توابع مختلط 37
6 .1 اعداد مختلط 38
6 .2 نمایش عدد مختلط در مختصات قطبی 38
6 .3 اعمال اصلی روی اعداد مختلط 38
6 .4 توان و ریشه n ام یک عدد مختلط 39
6 .5 خواص اعداد مختلط 39
6 .6 نمایش هندسی در صفحه مختلط 40
6 .7 انواع توابع مختلط 40
6 .8 حد توابع مختلط 43
6 .9 پیوستگی توابع مختلط 43
6 .10 مشتق پذیری توابع مختلط 43
6 .11 تابع تحلیلی 44
6 .12 قضایای کوشی- ریمان 44
6 .13 توابع همساز 46
6 .14 قضایای مهم 46
6 .15 دنباله‌ها و سری‌های مختلط 47
6 .16 نقطه منفرد تکین 49
6 .17 انواع نقاط تکین 49
فصل 7 نگاشت‌ها 53
7.1 نگاشت جاکوفسکی 54
7.2 نگاشت نمایی 54
7.3 نگاشت لگاریتمی 54
7.4 نگاشت خطی- کسری (نگاشت موبیوس) 54
7.5 نگاشت توانی 55
7.6 نگاشت ریشۀ n ام 55
7.7 نگاشت خطی 55
7.8 نگاشت به فرم 56
فصل 8 توابع چند متغيره 57
8.1 دامنه و برد توابع اسکالر و برداری 58
8.2 حد و پیوستگی یک تابع چند متغیره 58
8.3 مشتق یک تابع اسکالر 59
8.4 مشتق‌گیری زنجیری 61
8.5 مشتق‌گیری ضمني 62
8.6 بردار گرادیان 63
8.7 مشتق جهتی 64
8.8 اکسترمم‌های نسبی توابع چند متغیره 64
8.9 اکسترمم های مقید و روش لاگرانژ 64
8.10 ترسیم نمودار 65
فصل 9 سري و انتگرال فوريه 67
9.1 سری فوریه 68
9.2 فرم مختلط سری فوریه 69
9.3 انتگرال فوریه 71
9.4 فرم مختلط انتگرال فوریه 71
9.5 تبدیل فوریه 72
فصل 10 مسائل مقادير مرزي (مسائل اشتورم- ليوويل) 73
10.1 مسأله اشتورم- لیوویل منظم 74
10.2 مسأله اشتورم- لیوویل منفرد 75
فصل 11 معادلات ديفرانسيل جزئي 77
11.1 همگن سازی معادلات ناهمگن با شرایط مرزی ناهمگن 78
11.2 کاربرد تبدیل فوریه در حل معادلات با مشتقات جزئی 78
11.3 کاربرد تبدیل لاپلاس در حل معادلات با مشتقات جزئی 79
4.11 کاربرد سری فوریه در حل معادله گرما 79
11.5 کاربرد سری فوریه در حل معادله موج 80
11.6 روش دالامبر در حل معادله موج 80
فصل 12 چند جمله‌‌اي‌هاي لژاندر و توابع بسل 83
12.1 چند جمله‌ای‌های لژاندر 84
12.2 خواص چند جمله‌ای‌های لژاندر 85
12.3 تابع گاما 86
12.4 خواص تابع گاما 86
12.5 تابع بتا 86
12.6 خواص تابع بتا 86
12.7 معادله بسل 86
پيوست برخي انتگرال‌هاي مهم 89
منابع و مراجع 99
واژه نامه 101
